7 класс Онлайн

§ 9 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК

1. Преобразование уравнения ах + by + с = 0 к виду у = kx + m

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 8, при всей его чёткости и определённости математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + by + с = 0, затем ах2 + by + с = 0? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим.

Рассмотрим сначала уравнение Зх — 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 8), т. е. 2у = Зх + 6.

Умножив обе части уравнения на ½ получим …

Впрочем, тот же результат мы получили бы, если обе части исходного уравнения почленно разделили на 2. Обычно предпочитают в подобных случаях говорить не об умножении, а о почленном делении обеих частей уравнения на одно и то же число.

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем у = 9. Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 8.

Точно так же уравнение 5х — 2у = 0 (см. пример 4 из § 8) можно было преобразовать к виду 2у = 5х и, далее, у = 2,5х; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. Наконец, уравнение Зх + 2у — 16 = 0 из того же примера можно было преобразовать к виду 2у = 16 — Зх и, далее, у — 8 — -х.

Из этого уравнения можно найти решения (0; 8) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Случаи, когда в уравнении ах + by + с = 0 коэффициенты а и b равны нулю, мы рассмотрели в § 8. Там же мы отметили, что в случае, когда а Ф О, b = 0, графиком уравнения является прямая, параллельная оси у.

Рассмотрим случай, когда b ≠  0. Имеем ах + by + с = 0; (1) bу = -ах – с;

Введя обозначения … получаем у = kx + m.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у в случае, когда b ≠ 0, можно преобразовать к виду у = kx + m (2) где k, m — числа (коэффициенты).

Это частный вид линейного уравнения. Зная, чему равен х, по правилу у = kx + m всегда можно найти, чему равен у. Будем называть уравнение (2) линейной функцией.

С помощью уравнения (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например, у = 2х + 3. Тогда:

если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3 соответственно в точках х = 0, х = 1, х = -1, х = 3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаём одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.

Частным случаем теоремы 1 из § 8 является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Графиком линейной функции у = kx + m является прямая.

ПРИМЕР 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение: Составим таблицу:

х I 0 I 1
У I 3 I 5

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 3) и (1; 5) и проведём через них прямую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3 (рис. 34).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = kx + m, где k, m — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными x и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между хну. Это неважно, главное — понимать, что во всех случаях речь идёт о математической модели у = kx + m.

2. Линейные функции как математические модели реальных ситуаций

Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции. Приведём примеры.

Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?

Если пройдёт х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у = 500 + ЗОх. Таким образом, линейная функция у = ЗОх + 500 есть математическая модель ситуации.

Теперь нетрудно установить, что:

• при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОх + 500 подставили х = 2 и получили у = 560);
• при х = 4 имеем у = 620;
• при х = 10 имеем у = 800.

Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?

Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 — ЗОх. С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи:

• если х = 2, то у = 440 (в уравнение у = 500 — ЗОх подставили х = 2 и получили у = 440);
• если х = 4, то у = 380;
• если х = 10, то у = 200.

Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до пункта В, а затем продолжил движение в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы?

Математической моделью ситуации является линейная функция у = 15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:

• если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4х подставили х = 2 и получили у = 23);
• если х = 4, то у = 31;
• если х = 6, то у = 39.

Итак, в каждой из рассмотренных ситуаций математической моделью служит линейная функция. Но (внимание!), строго говоря, все три составленные модели не совсем точны, они не учитывают тех ограничений на переменную, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х может принимать только значения 1, 2, 3, …, поскольку х — число дней. Следовательно, уточнённая математическая модель первой ситуации выглядит так:

у = 500 + ЗОх, где х — натуральное число.

Вторую ситуацию необходимо уточнить условием у > 0. Это значит, что независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, …, 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 — ЗОх находим у = 500 — 30 • 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придётся прекратить. Следовательно, уточнённая математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 — ЗОх, у > 0 или у = 500 — ЗОх, где х = 1, 2, 3, …, 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (х = 0, х = 2, х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было принять разумные ограничения для х, скажем, 0 < х < 6 (т.е. турист идёт не более 6 ч).

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок [0; 6] координатной прямой (рис. 35). Значит, уточнённая модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку [0; 6].

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать х е X (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается. Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N. Значит, вместо фразы «х — натуральное число» мы можем использовать соотношение х е N.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового множества X, то пишут у = kx + m, х ∈ Х.

А теперь запишем более точные математические модели для рассмотренных выше трёх ситуаций.

• Первая ситуация: у = 500 + ЗОх, х е N.
• Вторая ситуация: у = 500 — ЗОх, х е {1, 2, 3, …, 16}.
• Третья ситуация: у = 15 + 4х, х е [0; 6].

3. Построение графика линейной функции на заданном промежутке

Построить график линейной функции:

Решение: а) Составим таблицу для линейной функции у = -2х + 1:

х | -3 |  2
y I  7 I -3

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведём через них прямую линию. Это график уравнения у = -2х + 1. Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 36). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х + 1, где х е [-3; 2].

Обычно говорят, что мы построили график линейной функции у = -2х + 1 на отрезке [-3; 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и графиком её служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3; 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (-3; 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 5. Точно так же и точки (-3; 7) и (2; -3) придётся отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = -2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 37). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 38). Это непринципиально: главное — понимать, о чём идёт речь.

ПРИМЕР 3. На координатной прямой отмечены точки А(-4), В(-3). Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции у = х/2 + 4 на отрезке [0; 6].

Решение: Составим таблицу для линейной функции. Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведём через них прямую — график линейной функции

Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0; 6], т. е. для х е [0; 6]. Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Обратим внимание, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции у = х/2 + 4 на отрезке [0; 6]. Обычно используют такую запись:

Замечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 40 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции у — iх + 4 на отрезке [0; 6]. Обычно используют такую запись:

Ответ: у_наиб = 7, у_наим = 4.

ПРИМЕР 4. Найти у_наиб и у_наим для линейной функции у = -1,5х + 3,5:

• а) на отрезке [1; 5];
• б) на интервале (1; 5);
• в) на полуинтервале [1; 5);
• г) на луче [0; +оо);
• д) на луче (~°°; 3].

Решение

Составим таблицу для линейной функции. Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; -4) и проведём через них прямую (рис. 41—45). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [1; 5] (рис. 41), из интервала (1; 5) (рис. 42), из полуинтервала [1; 5) (рис. 43), из луча [0; +°°) (рис. 44), из луча (~°°; 3] (рис. 45).

а) С помощью рисунка 41 нетрудно сделать вывод, что у_наиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у_наим = -4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) В отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены (рис. 42). Среди остальных точек графика нет ни точки с наименьшей ординатой, ни точки с наибольшей ординатой. Значит, ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет.

в) С помощью рисунка 43 заключаем, что у_наиб  2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) у_наиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у_наим не существует (рис. 44).

д) у_наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х — 3), а у_наиб не существует (рис. 45).

4. Свойства линейной функции

ПРИМЕР 5. Построить график линейной функции у = 2х — 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:
а) при каком значении х будет у = 0;
б) при каких значениях х будет у > 0;
в) при каких значениях х будет у < 0?

Решение: Составим таблицу для линейной функции у = 2х — 6:

Через точки (0; -6) и (3; 0) проведём прямую — график линейной функции у = 2х — 6 (рис. 46).

• а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у — 0.
• б) у > 0 при х > 3. В самом деле, если х > 3, то соответствующая часть прямой расположена выше оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.
• в) у < 0 при х < 3. В самом деле, если х < 3, то соответствующая часть прямой расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны.

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

• а) уравнение 2х — 6 = 0 (получили х = 3);
• б) неравенство 2х — 6 > 0 (получили х > 3);
• в) неравенство 2х — 6 < 0 (получили х < 3).

Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 47, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика всё время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если к > 0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисунке 47, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика всё время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < 0, то линейная функция у = kx + m убывает.

ПРИМЕР 6. На рисунке 48 изображён график движения автомобиля между пунктами 1 и 2. По оси t отмечено время (в часах), по оси S — расстояние до пункта 1. Требуется охарактеризовать весь процесс движения словами.

Решение: Точка А соответствует началу движения. До пункта 2 автомобиль доехал за 1 1/3 ч — об этом можно судить по абсциссе точки D. Пройденное расстояние равно 50 км — об этом можно судить по ординате точки D. Значит, можно вычислить скорость движения автомобиля: v = 50 : 4/3 = 37,5 км/ч.

На участке графика DE ордината постоянна, т. е. расстояние от пункта 1 не менялось. Это значит, что автомобиль не двигался (стоял в пункте 2). Причём он стоял в промежутке от 1^ ч до 2-| ч (это абсциссы точек D и Е). Остановка длилась, таким образом, 1 ч 20 мин.

На обратный путь после остановки автомобиль потратил столько же времени, сколько на путь от 1 до 2, значит обратно он ехал с той же скоростью.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое линейная функция?
2. Что является графиком линейной функции?
3. Сколько точек достаточно взять для построения графика линейной функции?
4. Опишите процесс построения графика линейной функции у = 2х + 3, где х е [0; 2]. Что изменится, если х е (0; 2)?
5. Дана линейная функция у = kx + m, х е X, где X — некоторый числовой промежуток. Что такое у_наим, у_наиб?
6. Дано: у = 2х + 3, х е [0; +оо). Найдите, если возможно, у_наим, у_наиб. Что изменится, если х е (0; +оо)? если х е (—оо; 0]? если X € (-оо; 0)?
7. Как с помощью графика линейной функции у = kx + m, где k Ф 0, решить: а) уравнение kx + m = 0; б) неравенство kx + m > 0; в) неравенство kx + m < 0?
8. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком — убывает? Как об этом можно судить по графику линейной функции?